Sınav Koçum Uygulamayı indir

8. Sınıf Üçgenler: Sık Yapılan Hatalar ve Çözümler

Üçgenler ünitesinde hata çoğu zaman şekli yanlış okumaktan gelir: açıortayı kenarortay sanmak, toplamı eşit kenarlarla üçgen kurmaya çalışmak ya da Pisagor'da hipotenüsü yanlış kenar seçmek. Bu sayfada LGS'de işine yarayacak kuralları, öğrencilerin sık düştüğü tuzakları ve adım adım çözülmüş örnek soruları bulacaksın.

Bu ünitenin kazanımları

MEB 8. sınıf matematik öğretim programında (2018) Üçgenler ünitesinin kazanımları:

  • M.8.3.1.1Üçgende kenarortay, açıortay ve yüksekliği inşa eder.
  • M.8.3.1.2Üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı veya farkı ile üçüncü kenarının uzunluğunu ilişkilendirir.
  • M.8.3.1.3Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçülerini ilişkilendirir.
  • M.8.3.1.4Yeterli sayıda elemanının ölçüleri verilen bir üçgeni çizer.
  • M.8.3.1.5Pisagor bağıntısını oluşturur, ilgili problemleri çözer.

Bilmen gereken kurallar

KuralÖrnek
Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir.[AD] kenarortay → |BD| = |DC|
Açıortay, bir açıyı iki eş açıya böler.[AE] açıortay → m(BAE) = m(EAC)
Yükseklik, bir köşeden karşı kenara ya da onun uzantısına dik iner.[AH] ⊥ [BC]
Bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür.|b − c| < a < b + c
Büyük kenarın karşısında büyük açı, küçük kenarın karşısında küçük açı bulunur.|BC| > |AC| ⇔ m(Â) > m(B̂)
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.a² + b² = c²
Hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır ve en uzun kenardır.3, 4, 5 üçgeninde hipotenüs 5
Sık görülen Pisagor üçlüleri ve katları işini hızlandırır.3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 6-8-10

Üç uzunlukla üçgen çizilip çizilemeyeceğini anlamak için en uzun kenara bak. Diğer iki kenarın toplamından küçükse üçgen çizilir.

Sık yapılan 6 hata

Kavram yanılgısı

1. Açıortayı kenarortay sanmak

Yanlış: [AD], A açısının açıortayı ise D, [BC]'nin orta noktasıdır; |BD| = |DC|

Doğru: Açıortay açıyı ikiye böler: m(BAD) = m(DAC). |BD| = |DC| olması için [AD]'nin kenarortay olması gerekir.

Üç yardımcı eleman da aynı köşeden çıkar, bu yüzden karışır. Kenarortay kenarı, açıortay açıyı ikiye böler, yükseklik ise dik iner. Bu üçü yalnız ikizkenar üçgende tepe köşesinden çizildiğinde aynı doğru parçası olur.

Unutma: adında ne varsa onu ikiye böler; kenarortay kenarı, açıortay açıyı.

Bilgi eksiği

2. Yüksekliğin hep üçgenin içinde kaldığını sanmak

Yanlış: A açısı geniş olan ABC üçgeninde C köşesinden inen yükseklik [AB] kenarının üzerine düşer.

Doğru: Bu yükseklik [BA] kenarının A'dan öteye uzatılmış hâline dik iner ve üçgenin dışında kalır.

Yükseklik, köşeden karşı kenarın bulunduğu doğruya çizilen dikmedir. Geniş açılı üçgende, geniş açının bulunmadığı iki köşeden inen yükseklikler dışarıda kalır. Dik üçgende ise dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir.

Unutma: yükseklik dik iner; gerekirse kenarı uzatırsın.

Kavram yanılgısı

3. Toplamı eşit olan kenarlarla üçgen çizilebilir sanmak

Yanlış: 3 cm, 5 cm ve 8 cm ile üçgen çizilir, çünkü 3 + 5 = 8

Doğru: 3 + 5 = 8, 8'den büyük değil; bu uzunluklarla üçgen çizilemez

İki kısa kenarın toplamı uzun kenara eşitse kenarlar düz bir çizgi üzerinde birleşir, köşe oluşmaz. Aynı durum farkta da geçerlidir: üçüncü kenar diğer ikisinin farkına eşit olamaz. Kuralda eşitlik yoktur, iki taraf da kesin < ile yazılır.

Unutma: toplama ya da farka eşit olan kenarla üçgen kurulmaz.

Dikkatsizlik

4. Üçüncü kenarda yalnız toplamı kontrol etmek

Yanlış: Kenarları 4 cm ve 9 cm olan üçgende x < 13, yani x tam sayısı 1, 2, …, 12 olabilir (12 değer)

Doğru: 9 − 4 < x < 9 + 4 → 5 < x < 13; x tam sayısı 6, 7, …, 12 olabilir (7 değer)

Alt sınırı unutursan 2 cm gibi çok kısa bir kenar seçersin. 4 + 2 = 6 olur ve 9'dan küçüktür, yani üçgen kapanmaz. Aralığın iki ucunu da yazmadan saymaya başlama.

Unutma: üçüncü kenar fark ile toplam arasında, iki uç hariç.

Kavram yanılgısı

5. Açıyı karşısındaki kenarla değil yanındaki kenarla eşleştirmek

Yanlış: m(Â) = 80°, m(B̂) = 60°, m(Ĉ) = 40° ise en uzun kenar [AB], çünkü en büyük iki açı onun uçlarında

Doğru: En uzun kenar en büyük açının karşısındadır: |BC| > |AC| > |AB|

A açısının karşısındaki kenar, A harfini içermeyen [BC] kenarıdır. Açıları büyükten küçüğe sıralayıp her birinin karşısındaki kenarı yazarsan kenar sıralaması kendiliğinden çıkar.

Unutma: bir açının karşısındaki kenar, o köşenin harfini taşımayan kenardır.

İşlem hatası

6. Pisagor'da hipotenüsü yanlış yere koymak ya da kenarları toplamak

Yanlış: Hipotenüs 13, bir dik kenar 5 ise diğer dik kenar: x² = 13² + 5² = 194

Doğru: 13² = 5² + x² → x² = 169 − 25 = 144 → x = 12

Hipotenüs eşitliğin tek başına kalan tarafındadır. Hipotenüsü bilip bir dik kenarı arıyorsan çıkarma yaparsın. Bir başka sık hata, kareleri almadan kenarları toplamak ya da çıkarmaktır: 5 + 12 = 17 eder, 13 etmez.

Unutma: önce dik açıyı bul; karşısındaki kenar c, formül a² + b² = c².

Çözümlü örnek sorular

13 m uzunluğundaki bir itfaiye merdiveni, yere dik olan bir binanın duvarına dayandırılmıştır. Zemin düzdür ve merdivenin yerdeki ucu duvarın dibinden 5 m uzaktadır. Merdivenin üst ucu duvara yerden kaç metre yükseklikte değmektedir?

  1. A) 8
  2. B) 12
  3. C) √194
  4. D) 18
Çözümü göster
  1. Duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Dik açı duvarın dibindedir.
  2. Dik açının karşısındaki kenar merdivendir, yani hipotenüs 13 m.
  3. Yükseklik h olsun: 5² + h² = 13² → h² = 169 − 25 = 144.
  4. h = 12 m.

Cevap: B. C, merdiveni dik kenar sanıp kareleri toplayanların cevabıdır (hata 6). A ve D ise kareleri almadan uzunlukları çıkaran (13 − 5) ya da toplayanlardan (13 + 5) gelir (hata 6).

Bir bahçıvan, üç köşesine birer kazık çaktığı üçgen biçimli bir çiçek tarhı yapacaktır. Tarhın iki kenarı 8 m ve 13 m olacaktır. Üçüncü kenarın uzunluğu tam sayı metre olacak ve bu kenarın karşısındaki açı, 8 m'lik kenarın karşısındaki açıdan küçük olacaktır. Buna göre üçüncü kenarın uzunluğu kaç farklı değer alabilir?

  1. A) 2
  2. B) 3
  3. C) 7
  4. D) 12
Çözümü göster
  1. Üçgen eşitsizliği: 13 − 8 < x < 13 + 8 → 5 < x < 21.
  2. Küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Üçüncü kenarın karşısındaki açı daha küçük olduğu için x < 8.
  3. İki koşul birlikte: 5 < x < 8. Tam sayı değerler 6 ve 7.

Cevap: A. B, farka eşit olan 5'i de sayanların cevabıdır; 5, 8 ve 13 ile üçgen kurulmaz (hata 3). C, alt sınırı unutup x < 8 koşuluyla 1'den 7'ye kadar sayanlardan gelir (hata 4). D, kenar ile açı ilişkisini ters kurup x > 8 alanların cevabıdır: 9'dan 20'ye 12 değer (hata 5).

Kendini dene

Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 13 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?

Hayır. 5 + 7 = 12 ve 12, 13'ten küçüktür. İki kısa kenar uzun kenara yetişemez.

Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

9² + 12² = 81 + 144 = 225, √225 = 15 cm. Bu, 3-4-5 üçlüsünün 3 katıdır. Cevabın 21 ise hata 6'ya bak.

ABC üçgeninde m(Â) = 50° ve m(B̂) = 70° ise en kısa kenar hangisidir?

m(Ĉ) = 180° − 50° − 70° = 60°. En küçük açı A olduğu için en kısa kenar onun karşısındaki [BC] kenarıdır.

ABC üçgeninde [AD] kenarortaydır ve |BC| = 14 cm'dir. |BD| kaç cm'dir?

Kenarortay [BC]'yi iki eş parçaya böler: |BD| = 14 : 2 = 7 cm.

Üçgenlerde yanlış yaptığın bir soru mu var?

Fotoğrafını çek; Sınav Koçum hatanın türünü bulur, soruyu adım adım çözer ve tekrarını planlar. Her gün 3 soru ücretsiz.

Google Play'den indir