Sınav Koçum
Uygulamayı indir
8. Sınıf Eşlik ve Benzerlik: Sık Yapılan Hatalar ve Çözümler
Bu ünitenin kazanımları
MEB 8. sınıf matematik öğretim programında (2018) Eşlik ve Benzerlik ünitesinin kazanımları:
M.8.3.3.1Eşlik ve benzerliği ilişkilendirir, eş ve benzer şekillerin kenar ve açı ilişkilerini belirler.M.8.3.3.2Benzer çokgenlerin benzerlik oranını belirler, bir çokgene eş ve benzer çokgenler oluşturur.
Bilmen gereken kurallar
| Kural | Örnek |
|---|---|
| Eş şekillerde karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir. | ABC ≅ DEF → |AB| = |DE| |
| Benzer şekillerde karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır. | ABC ~ DEF → |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |AC|/|DF| |
| Bu ortak orana benzerlik oranı denir. | |AB| = 6, |DE| = 3 → k = 2 |
| Yazılıştaki harf sırası hangi köşenin hangisiyle eşleştiğini gösterir. | ABC ~ DEF: A↔D, B↔E, C↔F |
| Eş şekiller benzerdir ve benzerlik oranları 1'dir. Benzer şekiller eş olmayabilir. | k = 1 ise eş |
| Çokgenlerde yalnız açıların eşit olması benzerlik için yetmez, kenarlar da orantılı olmalıdır. | Tüm kareler benzer, tüm dikdörtgenler benzer değil |
| Benzer şekillerin çevreleri oranı k, alanları oranı k² olur. | k = 3 → alan 9 katı |
Kenarları eşleştirirken uzunluğa değil açılara bak. Eşit açıların karşısındaki kenarlar karşılıklı kenarlardır.
Sık yapılan 6 hata
1. Benzer şekillerin kenarlarını eşit sanmak
Yanlış: ABC ~ DEF ve |AB| = 4 cm ise |DE| = 4 cm
Doğru: Benzer üçgenlerde kenarlar orantılıdır: |AB|/|DE| = k. Kenarların eşit olması için üçgenlerin eş olması (k = 1) gerekir.
Benzerlik "aynı biçim", eşlik "aynı biçim ve aynı boyut" demektir. Bir haritanın küçük ve büyük baskısı benzerdir ama üst üste koyduğunda örtüşmez. Her eş şekil benzerdir, her benzer şekil eş değildir.
Unutma: ≅ eşit kenar, ~ orantılı kenar.
2. Açıları eşit olan her çokgeni benzer sanmak
Yanlış: 2 cm × 3 cm ve 4 cm × 5 cm dikdörtgenlerin bütün açıları 90°, o hâlde benzerdir.
Doğru: 2/4 = 0,5 ama 3/5 = 0,6. Oranlar farklı, dikdörtgenler benzer değildir.
Üçgenlerde açıların eşit olması benzerlik için yeter, dörtgen ve diğer çokgenlerde yetmez. Dikdörtgenler hep 90° açılıdır ama biri uzun ince, diğeri kareye yakın olabilir.
Unutma: çokgende hem açıları hem kenar oranlarını kontrol et.
3. Karşılıklı olmayan kenarları oranlamak
Yanlış: m(Â) = m(Ê), m(B̂) = m(D̂), m(Ĉ) = m(F̂); |AB| = 8, |BC| = 12, |AC| = 10, |DE| = 4 ise [BC] ile [EF] eşleşir, |EF| = 12 : 2 = 6
Doğru: A↔E, B↔D, C↔F olduğu için ABC ~ EDF. [AB] ↔ [ED], [BC] ↔ [DF], [AC] ↔ [EF]. k = 8 : 4 = 2, |EF| = 10 : 2 = 5, |DF| = 12 : 2 = 6
Harflerin alfabe sırasına ya da şekildeki yerine bakarak eşleme yapmak bu hatanın kaynağıdır. Önce eşit açıları eşleştir, sonra köşe harflerini aynı sırayla yaz. Kenarlar bu yazılıştan okunur.
Unutma: eşleşmeyi açılar söyler, kenarların adı değil.
4. Benzerlik oranını ters kurmak
Yanlış: ABC ~ DEF, |AB| = 12, |DE| = 8, |BC| = 9 ise |EF| = 9 · (12/8) = 13,5
Doğru: |AB|/|DE| = |BC|/|EF| → 12/8 = 9/|EF| → |EF| = 9 · 8 : 12 = 6
DEF üçgeni küçük olan üçgendir, çünkü |DE| < |AB|. O hâlde |EF| de 9'dan küçük çıkmalı. Sonucu bulunca "küçük üçgenin kenarı küçük mü çıktı?" diye sor; bu soru ters oranı hemen yakalar.
Unutma: oranın payında ve paydasında hep aynı şeklin kenarları dursun.
5. Alanın da benzerlik oranı kadar büyüdüğünü sanmak
Yanlış: Benzerlik oranı 3, küçük şeklin alanı 20 cm² ise büyük şeklin alanı 3 · 20 = 60 cm²
Doğru: Alanlar oranı 3² = 9 olur; büyük şeklin alanı 9 · 20 = 180 cm²
Alan iki uzunluğun çarpımıdır. Kenarların ikisi de 3 katına çıkınca alan 3 · 3 = 9 katına çıkar. Çevre ise uzunlukların toplamı olduğu için yalnız 3 katına çıkar. Bu iki oranı birbirine karıştırma.
Unutma: kenar ve çevre k katı, alan k² katı.
6. Kenarlara aynı sayıyı ekleyince benzer şekil elde edildiğini sanmak
Yanlış: 3 cm × 5 cm dikdörtgenin kenarlarına 2'şer cm eklenirse 5 cm × 7 cm'lik benzer bir dikdörtgen olur.
Doğru: 3/5 = 0,6 ama 5/7 ≈ 0,71; benzer değiller. Benzer şekil için kenarlar aynı sayıyla çarpılır: 6 cm × 10 cm.
Benzerlik bir büyütme ya da küçültmedir ve büyütme çarpma ile yapılır. Aynı sayıyı eklemek kısa kenarı oransal olarak daha çok büyütür ve şeklin biçimi değişir.
Unutma: benzer şekilde kenarlar arasındaki fark değil, oran korunur.
Çözümlü örnek sorular
Kısa kenarı 10 cm, uzun kenarı 15 cm olan dikdörtgen biçimli bir fotoğraf, biçimi bozulmadan büyütülerek bir panoya basılacaktır. Büyütülen fotoğrafın kısa kenarı 30 cm olacağına göre, büyütülen fotoğrafın alanı kaç cm² olur?
- A) 450
- B) 600
- C) 1050
- D) 1350
Çözümü göster
- Biçim bozulmadığı için iki dikdörtgen benzerdir. Kısa kenar kısa kenarla eşleşir: k = 30 : 10 = 3.
- Uzun kenar da 3 katına çıkar: 15 · 3 = 45 cm.
- Alan = 30 · 45 = 1350 cm². Kontrol: ilk alan 150 cm², 150 · 3² = 1350.
Cevap: D. A, alanı da 3 katına çıkaranların cevabıdır: 150 · 3 = 450 (hata 5). B, 30 cm'yi uzun kenar 15 ile eşleştirip k = 2 alanlardan gelir: 20 · 30 = 600 (hata 3). C ise kısa kenara eklenen 20 cm'yi uzun kenara da ekleyip 30 · 35 yazanların cevabıdır (hata 6).
Bir teknede kullanılan ABC ve KLM üçgen yelkenleri benzerdir. Yelkenlerde m(Â) = m(L̂), m(B̂) = m(K̂) ve m(Ĉ) = m(M̂) olup |AB| = 6 m, |BC| = 8 m, |AC| = 10 m ve |KL| = 9 m'dir. Buna göre KLM yelkeninin çevresi kaç metredir?
- A) 16
- B) 27
- C) 36
- D) 54
Çözümü göster
- A↔L, B↔K, C↔M olduğu için ABC ~ LKM. [AB] kenarı [LK] kenarıyla, yani [KL] ile eşleşir.
- Benzerlik oranı: |KL| : |AB| = 9 : 6 = 1,5. KLM büyük yelkendir.
- ABC'nin çevresi 6 + 8 + 10 = 24 m. Çevreler oranı da k olduğu için KLM'nin çevresi 24 · 1,5 = 36 m.
Cevap: C. A, oranı ters kurup 24 : 1,5 = 16 bulanların cevabıdır; büyük yelkenin çevresi küçükten az çıkamaz (hata 4). B, [KL]'yi [BC] ile eşleştirip k = 9/8 alanlardan gelir: 24 · 9/8 = 27 (hata 3). D, çevreyi alan gibi k² ile çarpanların cevabıdır: 24 · 2,25 = 54 (hata 5).
Kendini dene
Herhangi iki kare her zaman benzer midir?
Evet. Karelerin bütün açıları 90° ve bütün kenarları eşittir, bu yüzden kenar oranları her zaman aynı çıkar.
Kenarları 4 cm × 6 cm ve 6 cm × 9 cm olan iki dikdörtgen benzer midir?
4/6 = 2/3 ve 6/9 = 2/3. Oranlar eşit, dikdörtgenler benzerdir. Benzerlik oranı 2/3 (ya da büyükten küçüğe 3/2).
ABC ~ DEF ve benzerlik oranı |AB|/|DE| = 2'dir. DEF üçgeninin alanı 12 cm² ise ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Alanlar oranı 2² = 4 olur: 12 · 4 = 48 cm². Cevabın 24 ise hata 5'e bak.
Eş iki üçgenin benzerlik oranı kaçtır?
1. Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları eşit olduğu için her oran 1'e eşittir.
Fotoğrafını çek; Sınav Koçum hatanın türünü bulur, soruyu adım adım çözer ve tekrarını planlar. Her gün 3 soru ücretsiz.