Sınav Koçum Uygulamayı indir

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar: Sık Yapılan Hatalar ve Çözümler

Çarpanlar ve katlar sorularında işlem genelde kolaydır; puanı götüren, hangi aracı seçeceğini karıştırmaktır. EBOB gereken yerde EKOK almak, asal çarpanlara ayırmayı yarım bırakmak ya da EBOB'u bulup sorunun asıl istediğini unutmak bunların başında gelir. Bu sayfada LGS için bilmen gereken kuralları, sık düşülen tuzakları ve adım adım çözülmüş örnek soruları bulacaksın.

Bu ünitenin kazanımları

MEB 8. sınıf matematik öğretim programında (2018) Çarpanlar ve Katlar ünitesinin kazanımları:

  • M.8.1.1.1Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.
  • M.8.1.1.2İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer.
  • M.8.1.1.3Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler.

Bilmen gereken kurallar

KuralÖrnek
Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılar onun çarpanlarıdır.12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Bir sayının katları, onun pozitif tam sayılarla çarpımlarıdır.12'nin katları: 12, 24, 36, …
1 asal değildir. En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal odur.2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Asal çarpanlara ayırırken her çarpan asal olana kadar bölmeye devam edilir.72 = 23 · 32
EBOB: ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.72 = 23 · 32, 60 = 22 · 3 · 5 → EBOB = 22 · 3 = 12
EKOK: tüm asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.EKOK(72, 60) = 23 · 32 · 5 = 360
İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, sayıların çarpımına eşittir.12 · 360 = 72 · 60 = 4320
EBOB'u 1 olan sayılar aralarında asaldır. Bu sayıların EKOK'u çarpımlarıdır.EBOB(8, 15) = 1, EKOK(8, 15) = 120

Problemde "en büyük parça", "eşit ve en uzun", "en az sayıda kutu" gibi bir bütünü bölme durumu varsa EBOB ararsın. "En az kaç gün sonra yine birlikte", "en küçük kare" gibi tekrar eden olayların buluşması varsa EKOK ararsın.

Sık yapılan 6 hata

Kavram yanılgısı

1. Çarpan ile katı karıştırmak

Yanlış: 18'in çarpanları: 18, 36, 54

Doğru: 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Çarpanlar sayıyı böler, bu yüzden sayıdan büyük olamaz. Katlar ise sayıdan başlar ve sonsuza kadar gider. Bir sayının çarpanları sınırlı sayıdadır.

Unutma: çarpan sayıyı böler, kat sayıya bölünür.

İşlem hatası

2. Asal çarpanlara ayırmayı yarım bırakmak

Yanlış: 90 = 2 · 5 · 9

Doğru: 90 = 2 · 32 · 5

9 asal değil, 3 · 3'tür. Çarpanların arasında bileşik bir sayı bırakırsan içindeki ortak asal çarpanı göremezsin; EBOB eksik, EKOK yanlış çıkar. Listeye 1'i de yazma, 1 asal değildir.

Unutma: her çarpan asal olana kadar bölmeye devam et.

Bilgi eksiği

3. EBOB ve EKOK'ta üs seçimini karıştırmak

Yanlış: 72 = 23 · 32, 60 = 22 · 3 · 5 → EBOB = 23 · 32 = 72

Doğru: EBOB = 22 · 3 = 12

EBOB iki sayıyı da bölmek zorunda. 72, 60'ı bölmediği için cevap olamaz. EBOB'da ortak çarpanların küçük üssünü, EKOK'ta tüm çarpanların büyük üssünü alırsın. Tersini yaparsan EKOK da küçük çıkar.

Unutma: bulduğun EBOB iki sayıyı da bölüyor mu, kontrol et.

Kavram yanılgısı

4. Problemde EBOB ile EKOK'u karıştırmak

Yanlış: 15 dakikada bir ve 20 dakikada bir kalkan iki tren en az 5 dakika sonra yine birlikte kalkar (EBOB).

Doğru: Birlikte kalkış ikisinin de katı olmalı: EKOK(15, 20) = 60 dakika.

Buluşma anı, iki sürenin ortak katıdır, bu yüzden iki süreden de büyük ya da onlara eşit olur. Bulduğun sayı verilen sürelerden küçükse yanlış aracı seçmişsin.

Unutma: bölüyorsan EBOB, buluşuyorsan EKOK.

Kavram yanılgısı

5. Aralarında asal olmak için sayıların asal olması gerektiğini sanmak

Yanlış: 9 ve 16 asal değil, öyleyse aralarında asal da değil.

Doğru: EBOB(9, 16) = 1, yani 9 ile 16 aralarında asaldır.

Aralarında asal olmak, iki sayının 1'den başka ortak böleni olmaması demektir; sayıların kendisi asal olmak zorunda değil. Tersine dikkat et: EKOK = a · b kısayolu yalnız aralarında asal sayılarda çalışır. EKOK(6, 8) = 24'tür, 48 değil.

Unutma: aralarında asal mı sorusunun cevabı EBOB'dadır.

Dikkatsizlik

6. EBOB'u bulup soruyu orada bırakmak

Yanlış: 24 m ve 36 m'lik iki ip eşit ve en uzun parçalara kesilirse kaç parça olur? Cevap: 12

Doğru: Bir parça 12 m. Parça sayısı 24 : 12 + 36 : 12 = 2 + 3 = 5

EBOB parçanın uzunluğunu verir, parça sayısını değil. Soru kaç parça, kaç kutu ya da kaç ağaç diye soruyorsa bir adım daha var.

Unutma: cevabı yazmadan önce sorunun son cümlesini tekrar oku.

Çözümlü örnek sorular

Bir marangoz 84 cm ve 120 cm uzunluğundaki iki tahtayı, hiç parça artmayacak şekilde eşit uzunlukta ve olabildiğince uzun parçalara kesecektir. Marangoz toplam kaç parça elde eder?

  1. A) 12
  2. B) 17
  3. C) 51
  4. D) 840
Çözümü göster
  1. Parça uzunluğu iki sayıyı da bölmeli ve en büyük olmalı: EBOB arıyoruz.
  2. 84 = 22 · 3 · 7 ve 120 = 23 · 3 · 5. EBOB = 22 · 3 = 12 cm.
  3. Parça sayısı: 84 : 12 + 120 : 12 = 7 + 10 = 17.

Cevap: B. A seçeneği parça uzunluğunu cevap sananların (hata 6), C ise ayırmayı yarım bırakıp 84 = 4 · 21 ve 120 = 4 · 30 yazarak EBOB'u 4 bulanların (hata 2) cevabıdır. D, EBOB yerine EKOK hesaplayanlardan gelir (hata 4).

Bir hasta, doktorunun önerisiyle bir ilacı 6 saatte bir, başka bir ilacı 8 saatte bir alacaktır. İki ilacı pazartesi saat 08.00'de birlikte aldığına göre, iki ilacı yeniden birlikte ilk kez ne zaman alır?

  1. A) Pazartesi 10.00
  2. B) Pazartesi 14.00
  3. C) Salı 08.00
  4. D) Çarşamba 08.00
Çözümü göster
  1. Birlikte alınan an, 6 ve 8'in ortak katıdır: EKOK arıyoruz.
  2. 6 = 2 · 3 ve 8 = 23. EKOK = 23 · 3 = 24 saat.
  3. Pazartesi 08.00'den 24 saat sonra: salı 08.00.

Cevap: C. A seçeneği EKOK yerine EBOB'u (2 saat) kullananların (hata 4), B ise EKOK'ta küçük üssü alıp 2 · 3 = 6 saat bulanların (hata 3) cevabıdır. D, 6 ve 8 aralarında asal olmadığı hâlde EKOK'u 6 · 8 = 48 saat sananlardan gelir (hata 5).

Kendini dene

36 sayısının kaç tane pozitif tam sayı çarpanı vardır?

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36: toplam 9 çarpan. Listende 72 ya da 108 varsa hata 1'e bak.

150 sayısını asal çarpanlarının üslü ifadelerle çarpımı şeklinde yaz.

150 = 2 · 3 · 52. 150 = 2 · 3 · 25 yazdıysan hata 2'ye bak; 25 asal değil.

20 ve 21 aralarında asal mıdır?

Evet. 20 = 22 · 5 ve 21 = 3 · 7; ortak asal çarpan yok, EBOB = 1. "İkisi de asal değil" diye hayır dediysen hata 5'e bak.

İki doğal sayının EBOB'u 6, EKOK'u 90'dır. Sayılardan biri 18 ise diğeri kaçtır?

EBOB · EKOK = sayıların çarpımı: 6 · 90 = 540. Diğer sayı 540 : 18 = 30. Kontrol: EBOB(18, 30) = 6, EKOK(18, 30) = 90.

Çarpanlar ve katlarda yanlış yaptığın bir soru mu var?

Fotoğrafını çek; Sınav Koçum hatanın türünü bulur, soruyu adım adım çözer ve tekrarını planlar. Her gün 3 soru ücretsiz.

Google Play'den indir